＞店名に考えている名前が商標登録されています。

称呼(名前)が同じです。

区分は登録されている区分は31ペットフード，動物用飲料

33B01

35ペット・ペットフードの販売に関する情報の提供，動物及び動物用品の販売に関する情報の提供，動物用飼料の小売又は卸売の業務において行われる顧客に対する便益の提供33B01 35B01 35K11

となっています。

トリミング(ペットの美容院)の店名に使用したいと思っていますが同じペットを扱いますが訴えられたりはないでしょうか？

トリミング＝「愛玩動物の美容」と「ペットフード，動物用飲料，ペット・ペットフードの販売に関する情報の提供，動物及び動物用品の販売に関する情報の提供，動物用飼料の小売又は卸売の業務において行われる顧客に対する便益の提供」は非類似の扱いですので、早期に出願することをお勧めします。

訴えられたりするか否かは、権利者が決めることなので当方はコメントできません。実質的には権利侵害になりますか？というご質問と思いますので、そうであれば「当該商標権の侵害となる可能性は少ない」となります。